Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{10^{n}}{(n+1)!}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{10^{n}}{(n+1)!}
e determinar se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Vamos primeiro testar a convergência absoluta usando o teste da razão.

Passo 2

Considere a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{10^{n}}{(n+1)!}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{n}}{(n+1)!}.
Aplique o teste da razão com a_n=\frac{10^{n}}{(n+1)!}. Calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{10^{n+1}/(n+2)!}{10^{n}/(n+1)!} =\lim_{n\to\infty}\frac{10}{n+2}=0.
Como L<1, a série \sum|a_n| converge.

Passo 3

Convergência absoluta implica convergência da série original. Portanto, a série dada converge em módulo, ou seja, converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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