Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\,.
Para saber se ela converge absolutamente, basta estudar a série de termos não sinalizados \sum_{n=1}^{\infty}a_n com
a_n = \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}
e aplicar o critério da razão.

Passo 2

Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}/(2n+2)!}{(n!)^{2}/(2n)!} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{(2n+2)(2n+1)} = \frac14.
Como L=\tfrac14<1, a série \sum a_n converge. Logo a série original converge absolutamente (e portanto converge).

Resposta

A série converge absolutamente.

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