Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(n!)^{2}}{2^{n}(2 n!)} x^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências com termo geral
a_n x^n,\quad\text{onde}\quad a_n = \frac{(n!)^{2}}{2^{n}\,(2n)!}.
O conteúdo principal aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão ao módulo dos termos:
\bigl|a_{n+1}x^{n+1}\bigr|\;\bigm/\;\bigl|a_nx^n\bigr| = \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\;\bigl|x\bigr|.
Vamos simplificar
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{((n+1)!)^2}{2^{n+1}(2n+2)!}}{\frac{(n!)^2}{2^n(2n)!}} = \frac{(n+1)^2}{2}\,\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{(n+1)^2}{2\,(2n+2)(2n+1)} = \frac{n+1}{4(2n+1)}.

Passo 3

Logo o quociente do teste da razão é
\frac{a_{n+1}}{a_n}\,\bigl|x\bigr| = \frac{n+1}{4(2n+1)}\,\bigl|x\bigr| \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \frac{1}{8}\,\bigl|x\bigr|.
Para convergência precisamos
\frac{1}{8}\,\bigl|x\bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl|x\bigr|<8.
Isto dá o raio de convergência R=8.

Passo 4

Agora testamos os extremos x=8 e x=-8. Para x=8 o termo geral fica
a_n\,8^n = \frac{(n!)^2}{2^n(2n)!}\;8^n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}\;4^n = \frac{4^n}{\displaystyle\binom{2n}{n}}.
Pela aproximação \displaystyle\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}, segue
a_n\,8^n\sim \sqrt{\pi n}\quad\text{quando }n\to\infty,
logo não tende a zero e a série diverge. O mesmo raciocínio vale para x=-8, pois \bigl|a_n(-8)^n\bigr| também não tende a zero. Portanto, não há convergência nos extremos.

Resposta

O raio de convergência é R=8 e o intervalo de convergência é
(-8,8).

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