Quais séries convergem? E quais divergem?
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2^{n}}{n 3^{n-1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n\,3^{n-1}}
converge ou diverge. O conteúdo é teste de convergência de séries de termos positivos; vamos usar o teste da razão e, em seguida, reconhecer a forma de série de potências.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de modo a evidenciar uma potência de \frac23:
a_{n}=\frac{2^{n}}{n\,3^{n-1}} =\frac{3\cdot2^{n}}{n\,3^{n}} =3\;\frac{\bigl(\tfrac23\bigr)^{n}}{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{3\;\tfrac{(\tfrac23)^{\,n+1}}{n+1}}{3\;\tfrac{(\tfrac23)^{\,n}}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\bigl(\tfrac23\bigr)^{n+1}}{\bigl(\tfrac23\bigr)^{n}} \cdot\frac{n}{n+1} =\frac23\cdot1 =\frac23.

Passo 4

Como L=\tfrac23<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 5

Além disso, reconhecemos que
\sum_{n=1}^\infty\frac{(\tfrac23)^{n}}{n} =-\ln\bigl(1-\tfrac23\bigr) =-\ln\bigl(\tfrac13\bigr) =\ln 3,
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\sum_{n=1}^\infty a_n =3\sum_{n=1}^\infty\frac{(\tfrac23)^{n}}{n} =3\ln 3.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n\,3^{n-1}}
converge (na verdade, converge absolutamente) e seu valor é 3\ln 3.

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