Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}x^{n}.
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da raiz para determinar o raio e, em seguida, verificar os extremos para achar o intervalo de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, calculando
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}x^{n}\right|}.
Note que
\sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}}=\frac{n}{n+1}, \quad \sqrt[n]{|x^{n}|}=|x|.
Portanto,
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}x^{n}\right|} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\,|x| =|x|.

Passo 3

Pelo teste da raiz, a série converge se
|x|<1.
Assim, o raio de convergência é R=1,
e o intervalo de convergência inicial é (-1,1).

Passo 4

Falta testar os extremos:
Para x=1, o termo geral é
a_{n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n},
e
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n+1}\Bigr)^{n} =e^{-1}\neq0.
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge em x=1.
Para x=-1, o termo geral é
(-1)^{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n},
cujo módulo também tende a e^{-1}\neq0, logo não há convergência em x=-1.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-1,1).

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