Use o teste da comparação para determinar quando as séries sumn=1^infty 1n^3+3 n+1, sumn=1^infty 12^n+1 e sumn=1^infty 1ln (n) convergem ou divergem.

Passo 1

Resumindo, temos três séries de termos positivos e vamos usar o teste da comparação direta (ou limite de comparação quando necessário) para decidir convergência ou divergência:
  1. sumn=1^infty1n^3+3n+1
  2. sumn=1^infty12^n+1
  3. sumn=1^infty1ln(n)
    O conteúdo envolve reconhecer séries-p, séries geométricas e comparar com a harmônica.

Passo 2

Para sumn=1^infty1n^3+3n+1, note que para todo n>=1 vale
n^3+3n+1 ;>=; n^3,
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0 ;<; 1n^3+3n+1 ;<=;1n^3
Como sum 1/n^3 é uma série-p com p=3>1, ela converge. Pelo teste da comparação direta, a série original também converge.

Passo 3

Para sumn=1^infty12^n+1, observamos que para todo n>=1
2^n+1 ;>;2^n,
então
0 ;<;12^n+1;<;12^n
Sabemos que sum 1/2^n é uma série geométrica convergente (razão 1/2). Assim, pelo teste da comparação direta, sum 1/(2^n+1) também converge.

Passo 4

Para sumn=1^infty1ln(n), note que a partir de n=3 temos ln(n)<n. Então para n>=3
ln(n)<n Longrightarrow 1ln(n)>1n
Como sum 1/n (a série harmônica) diverge, pelo teste da comparação direta temos que sum 1/ln(n) também diverge.

Resposta

A primeira série converge, a segunda série converge e a terceira série diverge.

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