Faça o esboço da região D no plano cartesiano e descreva D como sendo do tipo I ou do tipo II. Caso deseje ou não seja possível descrevê-la como sendo uma única região desses dois tipos, subdivida-a em sub-regiões do tipo I ou do tipo II e descreva-as.
D é a região triangular formada pelos vértices (-1,0),(0,3) e (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos de boas: o exercício pede que a gente desenhe a região triangular com vértices A=(−1,0), B=(0,3) e C=(1,0) e depois diga se ela é “tipo I” (faixas verticais, ou seja, x variando entre duas funções de y) ou “tipo II” (faixas horizontais, y variando entre duas funções de x). Para isso precisamos lembrar as definições de região simples tipo I e tipo II e descobrir as equações das retas que formam as arestas do triângulo.

Passo 2

Primeiro, desenha o triângulo no plano:
  • A ligação A→B é a reta que passa por (−1,0) e (0,3).
    • Declive m=3-00-(-1)=3.
    • Equação: y-0=3,(x+1), ou seja
y=3x+3
  • A ligação B→C é a reta que passa por (0,3) e (1,0).
    • Declive m=0-31-0=-3.
    • Equação: y-3=-3(x-0), ou seja
y=-3x+3
  • A base A→C é simplesmente a reta horizontal y=0 de x=-1 a x=1.

Passo 3

Agora, o que é região do tipo II?
Uma região D é tipo II se a gente consegue escrever
D=(x,y)mid a<= y<= b,; g1(y)<= x<= g2(y),
ou seja, para cada “linha” horizontal y entre a e b, x vai de uma curva g1(y) até outra g2(y).
No nosso triângulo, y vai de 0 (base) até 3 (topo). Para cada y nesse intervalo, a fronteira esquerda é dada por inverter y=3x+3:
x=y-33=y3-1,
e a fronteira direita vem de inverter y=-3x+3:
x=3-y3=1-y3

Passo 4

Logo, a descrição completa de D como região tipo II é
D=l(x,y);|;0<= y<=3,;y3-1<= x<=1-y3r

Resposta

D é uma região simples do tipo II e pode ser descrita por
D=l(x,y);|;0<= y<=3,;y3-1<= x<=1-y3r

Exercícios relacionados