Determine se as séries convergem ou divergem.
(a) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n+3}{3 n+2}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2n+3}{3n+2}\Bigr)^{n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar o teste da raiz, que é apropriado quando o termo geral está elevado a n.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para a_{n} termo geral de uma série, se
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}
existe, então:
  1. Se L<1, a série converge absolutamente.
  2. Se L>1, a série diverge.
  3. Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui a_{n}=\bigl(\tfrac{2n+3}{3n+2}\bigr)^{n}. Calculamos
\sqrt[n]{\bigl\lvert a_{n}\bigr\rvert} =\sqrt[n]{\Bigl\lvert\frac{2n+3}{3n+2}\Bigr\rvert^{n}} =\Bigl\lvert\frac{2n+3}{3n+2}\Bigr\rvert.
Quando n\to\infty,
\frac{2n+3}{3n+2} =\frac{2+\tfrac{3}{n}}{3+\tfrac{2}{n}} \longrightarrow\frac{2}{3}.
Logo
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} =\frac{2}{3}<1.

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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