(1,5 pts.) Calcule L=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x), para
f(x)= \begin{cases}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-2 x+1}, & \text { se } x \leq 1 \\\ x^{5}-3 x^{2}+5, & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x)=\begin{cases} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-2x+1},&x\le1,\\\ x^{5}-3x^{2}+5,&x>1 \end{cases}
quando x se aproxima de 1 pela esquerda. Como queremos \lim_{x\to1^-}f(x), vamos usar apenas a expressão
\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-2x+1}
válida para x\le1.

Passo 2

Ao fazer x\to1 diretamente nessa expressão, o numerador tende a \sqrt{1+3}-2=2-2=0 e o denominador tende a (1)^{2}-2\cdot1+1=0. Temos, portanto, uma forma \tfrac{0}{0} indeterminada, o que exige manipulação algébrica.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pelo conjugado \sqrt{x+3}+2:
\frac{\sqrt{x+3}-2}{(x-1)^{2}} \cdot\frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{x+3-4}{(x-1)^{2}\bigl(\sqrt{x+3}+2\bigr)} = \frac{x-1}{(x-1)^{2}\bigl(\sqrt{x+3}+2\bigr)} = \frac{1}{(x-1)\bigl(\sqrt{x+3}+2\bigr)}.

Passo 4

Agora, ao fazer x\to1^-, temos x-1\to0^- e \sqrt{x+3}+2\to4. Logo,
\frac{1}{(x-1)\bigl(\sqrt{x+3}+2\bigr)} \;\longrightarrow\; \frac{1}{0^-\cdot4} \;=\; -\infty.

Resposta

L=\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty.

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