(Valor 2,5) Encontre uma representação em série de potências em torno de x=0 da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3} \arctan \left(\mathrm{x}^{3}\right) .\left(\right. Dica: \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\arctan (\mathrm{x}))=\frac{1}{1+\mathrm{x}^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de f(x)=x^{3}\arctan\bigl(x^{3}\bigr) em torno de x=0. Vamos usar a expansão em série de Taylor de \arctan(x) para \lvert x\rvert<1 e depois fazer a substituição x\mapsto x^{3}, finalizando com a multiplicação por x^{3}.

Passo 2

Lembramos que, para \lvert x\rvert<1,
\arctan(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 3

Substituindo x por x^{3} nessa expansão, obtemos
\arctan\bigl(x^{3}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\bigl(x^{3}\bigr)^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{6n+3}}{2n+1}.

Passo 4

Multiplicando por x^{3}, chega-se a
f(x)=x^{3}\arctan\bigl(x^{3}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{6n+6}}{2n+1}.

Passo 5

Em particular, os primeiros termos são
x^{6}-\frac{x^{12}}{3}+\frac{x^{18}}{5}-\frac{x^{24}}{7}+\cdots,
válido para \lvert x^{3}\rvert<1, ou seja \lvert x\rvert<1.

Resposta

\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{6n+6}}{2n+1},\quad \lvert x\rvert<1.}

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