Determine se as séries dadas são convergentes ou divergentes, indicando o critério utilizado.
(c) sumn=2^infty 1n ln n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=2^infty 1nln n é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui são testes de convergência de séries, e vamos usar o critério da integral.

Passo 2

Para aplicar o critério da integral, definimos a função f(x)=1xln x para x>=2. Observamos que f(x) é positiva, contínua e monotonicamente decrescente em [2,infty), condições necessárias para usar o critério.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria correspondente:
integral2^infty 1xln x ,dx
Fazendo a substituição u=ln x, temos du=1xdx. Então
integral2^infty 1xln x ,dx = integralln 2^infty 1u ,du = limbtoinfty l[ln ur]ln 2^b = limbtoinfty (ln b - ln(ln 2)) = infty

Passo 4

Como a integral diverge, o critério da integral nos diz que a série sumn=2^infty 1nln n também diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério da integral.

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