Resolva a EDO
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
. Isso cai em equações diferenciais exatas de primeira ordem: a ideia é checar a condição de exatidão e achar uma função potencial
cuja diferencial total reproduza a combinação dada.
Passo 2
Identificamos
e
. Para ser exata deve valer
. Calculando:
e
. Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Logo, uma função potencial preliminar é
Passo 4
Para determinar
, usamos que
deve coincidir com
. Calculando:
Igualando a
dá
Logo
, e integrando obtemos
.
Passo 5
Substituindo em
e igualando a uma constante geral
, a solução implícita fica:
Multiplicando por 3 e absorvendo constantes, podemos escrever de forma mais simples:
.
Resposta
x^3 y + 2y^3 = C