Resolva a EDO x^2 y d x+(2 y^2+x^3 / 3) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO x^2 y,dx + l(2y^2 + x^3/3r),dy = 0. Isso cai em equações diferenciais exatas de primeira ordem: a ideia é checar a condição de exatidão e achar uma função potencial Psi(x,y) cuja diferencial total reproduza a combinação dada.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = x^2 y e N(x,y) = 2y^2 + x^3/3. Para ser exata deve valer partial M/partial y = partial N/partial x. Calculando: partial M/partial y = x^2 e partial N/partial x = x^2. Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
integral x^2 y ,dx = y integral x^2 dx = y x^33 + h(y)
Logo, uma função potencial preliminar é
Psi(x,y) = x^3 y3 + h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), usamos que partial Psi/partial y deve coincidir com N(x,y). Calculando:
partial Psipartial y = x^33 + h'(y)
Igualando a N
x^33 + h'(y) = 2y^2 + x^33
Logo h'(y)=2y^2, e integrando obtemos h(y)=2y^33 + C1.

Passo 5

Substituindo em Psi e igualando a uma constante geral C, a solução implícita fica:
Psi(x,y)=x^3 y3+2y^33=C
Multiplicando por 3 e absorvendo constantes, podemos escrever de forma mais simples: x^3 y+2y^3=C'.

Resposta

x^3 y + 2y^3 = C

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