Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{\operatorname{sinh} z}{z^{2}}, D:|z|>0

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(z)=\frac{\operatorname{sinh} z}{z^2},\quad D:\lvert z\rvert>0.
Para resolver, precisamos lembrar a expansão de Maclaurin de \operatorname{sinh} z e em seguida fazer a divisão termo a termo por z^2.

Passo 2

A definição de \operatorname{sinh} z e sua expansão de Maclaurin são
\operatorname{sinh} z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Dividindo termo a termo por z^2, obtemos
\frac{\operatorname{sinh} z}{z^2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\;\cdot\;\frac{1}{z^2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Podemos escrever explicitamente os primeiros termos substituindo n=0,1,2,\dots:
\frac{\operatorname{sinh} z}{z^2} = \frac{z^{-1}}{1!} + \frac{z^{1}}{3!} + \frac{z^{3}}{5!} + \frac{z^{5}}{7!} + \cdots = \frac{1}{z} + \frac{z}{6} + \frac{z^3}{120} + \frac{z^5}{5040} + \cdots.

Resposta

\frac{\operatorname{sinh} z}{z^2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n-1}}{(2n+1)!} = \frac{1}{z} + \frac{z}{6} + \frac{z^3}{120} + \frac{z^5}{5040} + \cdots.

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