Encontre soluções gerais para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem.
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}3 & -2 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t)\end{array}\right]. Obs. Escreva em termos de vetores e funções reais.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de primeira ordem com coeficientes constantes
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -2\\\ 2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por autovalores e autovetores; como os autovalores serão complexos, vamos usar a forma real obtida pelas partes real e imaginária das soluções complexas.

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A=\begin{pmatrix}3 & -2\\\ 2 & 3\end{pmatrix} calculamos
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\\ 2 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)^2+4=0.
Daí
(3-\lambda)^2=-4 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=3\pm 2i.

Passo 3

Escolhendo \lambda_1=3+2i, resolvemos
\bigl(A-(3+2i)I\bigr)v=0 \;\Rightarrow\; \begin{pmatrix}-2i & -2\\\ 2 & -2i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha vem -2i\,v_1-2\,v_2=0, ou seja v_2=-i\,v_1. Tomando v_1=1, um autovetor é
v=\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix}.
Assim uma solução complexa é
z(t)=e^{(3+2i)t}\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix}.

Passo 4

Usamos a fórmula de Euler e^{(3+2i)t}=e^{3t}(\cos2t+i\sin2t) e escrevemos
z(t)=e^{3t}\bigl(\cos2t+i\sin2t\bigr)\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix} =e^{3t}\Bigl[\underbrace{\begin{pmatrix}\cos2t\\sin2t\end{pmatrix}}_{\Re(z)} \;+\;i\underbrace{\begin{pmatrix}-\sin2t\\cos2t\end{pmatrix}}_{\Im(z)}\Bigr].
As partes real e imaginária são soluções reais independentes. Portanto, a solução geral real é combinação linear dessas duas:

Resposta

\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_{1}\,e^{3t} \begin{pmatrix}\cos 2t\\[6pt]\sin 2t\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{3t} \begin{pmatrix}-\sin 2t\\[6pt]\cos 2t\end{pmatrix},
onde C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.]

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