Encontre soluções gerais para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem.
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{c}x(t) \\\ y(t) \\\ z(t) \\\ w(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & -3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t) \\\ y(t) \\\ z(t) \\\ w(t)\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t)\\\ y(t)\\\ z(t)\\\ w(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t)\\\ y(t)\\\ z(t)\\\ w(t) \end{pmatrix},
cuja matriz é triangular. Vamos resolver de baixo para cima, pois cada equação se acopla ao que já encontramos.

Passo 2

A última linha é
w'(t)=4\,w(t).
Essa é homogênea e separável. A solução geral é
w(t)=C_{4}\,e^{4t},
onde C_{4} é constante arbitrária.

Passo 3

A terceira linha é
z'(t)=-2\,z(t)+4\,w(t).
Substituindo w(t)=C_{4}e^{4t}, fica
z'(t)+2\,z(t)=4\,C_{4}e^{4t}.
O fator integrante é e^{2t}, logo
\frac{d}{dt}\bigl(z\,e^{2t}\bigr) =4\,C_{4}e^{6t}.
Integramos:
z(t)\,e^{2t} =\int 4\,C_{4}e^{6t}\,dt + C_{3} =\tfrac{4}{6}\,C_{4}e^{6t}+C_{3},
de onde
z(t)=C_{3}\,e^{-2t}+\tfrac{2}{3}\,C_{4}\,e^{4t}.

Passo 4

A segunda linha é
y'(t)=y(t)+z(t).
Reescrevendo como
y'(t)-y(t)=z(t) =C_{3}e^{-2t}+\tfrac{2}{3}C_{4}e^{4t},
o fator integrante é e^{-t}. Então
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-t}\bigr) =C_{3}e^{-3t}+\tfrac{2}{3}C_{4}e^{3t}.
Integramos:
y(t)\,e^{-t} =\int\!C_{3}e^{-3t}dt+\int\tfrac{2}{3}C_{4}e^{3t}dt+C_{2} =-\tfrac{C_{3}}{3}e^{-3t}+\tfrac{2}{9}C_{4}e^{3t}+C_{2}.
Multiplicando por e^{t}, obtemos
y(t) =-\tfrac{C_{3}}{3}\,e^{-2t} +\tfrac{2}{9}\,C_{4}\,e^{4t} + C_{2}\,e^{t}.

Passo 5

A primeira linha é
x'(t)=x(t)-3\,w(t),
ou
x'(t)-x(t)=-3\,C_{4}e^{4t}.
O fator integrante é e^{-t}. Assim
\frac{d}{dt}\bigl(x\,e^{-t}\bigr) =-3\,C_{4}e^{3t}.
Integramos:
x(t)\,e^{-t} =-3\,C_{4}\int e^{3t}dt + C_{1} =-C_{4}e^{3t}+C_{1}.
Logo
x(t)=C_{1}\,e^{t}-C_{4}\,e^{4t}.

Resposta

As soluções gerais são
\begin{cases} x(t)=C_{1}\,e^{t}-C_{4}\,e^{4t},\\[6pt] y(t)=C_{2}\,e^{t}-\tfrac{C_{3}}{3}\,e^{-2t}+\tfrac{2}{9}\,C_{4}\,e^{4t},\\[6pt] z(t)=C_{3}\,e^{-2t}+\tfrac{2}{3}\,C_{4}\,e^{4t},\\[6pt] w(t)=C_{4}\,e^{4t}, \end{cases}
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} s\0o constantes arbitr\0rias.]

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