Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{z+1}{z-1}, D:|z|>1

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(z)=\frac{z+1}{z-1} no domínio \lvert z\rvert>1. Como 0 não pertence a \{z:\lvert z\rvert>1\}, vamos, na prática, obter a expansão em potências de 1/z (uma série de Laurent centrada em 0) que converge para \frac{z+1}{z-1} quando \lvert z\rvert>1. Para isso, usaremos a fórmula da série geométrica
\frac{1}{1-w} \;=\;\sum_{k=0}^{\infty} w^k,\quad |w|<1.

Passo 2

Definimos w=\frac1z. Dividindo numerador e denominador de f(z) por z, obtemos
f(z)=\frac{z+1}{z-1} =\frac{1+\frac1z}{1-\frac1z} =\frac{1+w}{1-w}.

Passo 3

Aplicamos a série geométrica a \frac1{1-w} e multiplicamos por 1+w:
\frac{1+w}{1-w} =(1+w)\sum_{k=0}^{\infty}w^k =\sum_{k=0}^{\infty}w^k \;+\;\sum_{k=0}^{\infty}w^{k+1}.

Passo 4

Reindexando o segundo somatório e somando term a termo, temos
\sum_{k=0}^{\infty}w^k + \sum_{k=1}^{\infty}w^k =1 + 2\sum_{k=1}^{\infty}w^k.
Voltando a z com w=1/z, chega-se a
f(z)=1 + 2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{z^k}.

Passo 5

A condição de convergência \lvert w\rvert<1 torna-se \bigl|\tfrac1z\bigr|<1, isto é \lvert z\rvert>1, que coincide com o domínio dado.

Resposta

f(z)=1 + 2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{z^k},\quad |z|>1.

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