Encontre soluções gerais para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares de primeira ordem
onde
O método consiste em achar os autovalores
de
, em seguida os respectivos autovetores
, e escrever
Passo 2
Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
e calculamos
Fatorando, obtemos
Passo 3
Os autovalores são
Passo 4
Para
, resolvemos
:
leva a
e
. Um autovetor associado é
Passo 5
Para
, resolvemos
:
leva a
e
. Um autovetor é
Passo 6
Para
, resolvemos
:
leva a
e
. Podemos escolher
, então
,
. Um autovetor é
Passo 7
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
onde
são constantes arbitrárias.