Encontre soluções gerais para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem.
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t) \\\ z(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t) \\\ z(t)\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares de primeira ordem
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix},
onde
A=\begin{pmatrix}1&1&2\\\ 1&2&-1\\\ 2&1&1\end{pmatrix}.
O método consiste em achar os autovalores \lambda de A, em seguida os respectivos autovetores v, e escrever
X(t)=c_{1}v_{1}e^{\lambda_{1}t}+c_{2}v_{2}e^{\lambda_{2}t}+c_{3}v_{3}e^{\lambda_{3}t}.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&1&2\\\ 1&2-\lambda&-1\\\ 2&1&1-\lambda\end{pmatrix}
e calculamos
\det(A-\lambda I)=\lambda^{3}-4\lambda^{2}+\lambda+6.
Fatorando, obtemos
\lambda^{3}-4\lambda^{2}+\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+1).

Passo 3

Os autovalores são
\lambda_{1}=2,\quad \lambda_{2}=3,\quad \lambda_{3}=-1.

Passo 4

Para \lambda_{1}=2, resolvemos (A-2I)v=0:
\begin{pmatrix}-1&1&2\\\ 1&0&-1\\\ 2&1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{pmatrix}=0
leva a v_{1}=v_{3} e v_{2}=-v_{3}. Um autovetor associado é
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_{2}=3, resolvemos (A-3I)v=0:
\begin{pmatrix}-2&1&2\\\ 1&-1&-1\\\ 2&1&-2\end{pmatrix}v=0
leva a v_{2}=0 e v_{1}=v_{3}. Um autovetor é
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_{3}=-1, resolvemos (A+I)v=0:
\begin{pmatrix}2&1&2\\\ 1&3&-1\\\ 2&1&2\end{pmatrix}v=0
leva a 5v_{1}+7v_{3}=0 e v_{2}=-2v_{1}-2v_{3}. Podemos escolher v_{3}=5, então v_{1}=-7, v_{2}=4. Um autovetor é
v_{3}=\begin{pmatrix}-7\\\ 4\\\ 5\end{pmatrix}.

Passo 7

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix} =c_{1}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}e^{2t} +c_{2}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}e^{3t} +c_{3}\begin{pmatrix}-7\\\ 4\\\ 5\end{pmatrix}e^{-t},
onde c_{1},c_{2},c_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix} =c_{1}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}e^{2t} +c_{2}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}e^{3t} +c_{3}\begin{pmatrix}-7\\\ 4\\\ 5\end{pmatrix}e^{-t}.

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