Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{e^{z}-1}{z^{3}}, D:|z|>0

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin (na verdade uma série de Laurent em torno de z=0, pois há polo de ordem 3) da função
f(z)=\frac{e^{z}-1}{z^{3}},
válida em D:\lvert z\rvert>0. Vamos usar a série de Maclaurin de e^{z} e então dividir termo a termo por z^{3}.

Passo 2

Recordamos que
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.

Passo 3

Subtraindo 1, obtemos
e^{z}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.

Passo 4

Dividindo por z^{3}, a série fica
\frac{e^{z}-1}{z^{3}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-3}}{n!}.
Aqui vemos claramente o polo de ordem 3 em z=0.

Passo 5

Para escrever os termos iniciais, note que, ao deixar o índice variar em m=n-3, temos m=-2,-1,0,1,\dots e
\frac{1}{n!}=\frac{1}{(m+3)!}.
Portanto a expansão é
f(z)=\sum_{m=-2}^{\infty}\frac{z^{m}}{(m+3)!} =z^{-2}+\frac{1}{2}z^{-1}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}z+\frac{1}{120}z^{2}+\cdots.

Resposta

\boxed{f(z)=\sum_{n=-2}^{\infty}\frac{z^{n}}{(n+3)!} =z^{-2}+\tfrac12\,z^{-1}+\tfrac16+\tfrac1{24}z+\tfrac1{120}z^{2}+\cdots.}

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