Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{c}x(t) \\\ y(t) \\\ z(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x(t) \\\ y(t) \\\ z(t)\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{c}x(0) \\\ y(0) \\\ z(0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares
\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t)\\\ y(t)\\\ z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t)\\\ y(t)\\\ z(t) \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} x(0)\\\ y(0)\\\ z(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\ 3\\\ 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é resolver um sistema homogêneo com matriz de posto 1, usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Vamos achar os autovalores de A. Como todas as linhas (e colunas) de A são iguais, a soma em cada linha é 3, daí existe um autovalor
\lambda_1=3
com autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Os demais autovalores são
\lambda_2=0,\quad \lambda_3=0,
com autovetores qualquer ortogonal a v_1.

Passo 3

Decompondo o vetor inicial
\displaystyle v_0=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}
na base de autovetores, escrevemos
v_0=\alpha\,v_1+w,
onde w está no espaço próprio de \lambda=0. Para achar \alpha, fazemos projeção em v_1:
\alpha=\frac{v_0\cdot v_1}{v_1\cdot v_1} =\frac{1+3+2}{1+1+1}=2.
Logo
w=v_0-2\,v_1 =\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
e de fato A\,w=0.

Passo 4

A solução geral do sistema é a soma das componentes associadas a cada autovalor:
v(t)=C_1e^{3t}v_1+C_2e^{0t}v_2+C_3e^{0t}v_3.
Pela decomposição do inicial, temos C_1=2 e a soma C_2v_2+C_3v_3=w permanece constante. Portanto
v(t)=2e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Extraindo as componentes de v(t)=(x(t),y(t),z(t))^T, obtemos
x(t)=2e^{3t}-1,\quad y(t)=2e^{3t}+1,\quad z(t)=2e^{3t}.

Resposta

x(t)=2e^{3t}-1
y(t)=2e^{3t}+1
z(t)=2e^{3t}

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