Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares
O conteúdo é resolver um sistema homogêneo com matriz de posto 1, usando autovalores e autovetores.
Passo 2
Vamos achar os autovalores de
. Como todas as linhas (e colunas) de
são iguais, a soma em cada linha é
, daí existe um autovalor
com autovetor
Os demais autovalores são
com autovetores qualquer ortogonal a
.
Passo 3
Decompondo o vetor inicial
na base de autovetores, escrevemos
na base de autovetores, escrevemos
onde
está no espaço próprio de
. Para achar
, fazemos projeção em
:
Logo
e de fato
.
Passo 4
A solução geral do sistema é a soma das componentes associadas a cada autovalor:
Pela decomposição do inicial, temos
e a soma
permanece constante. Portanto
Passo 5
Extraindo as componentes de
, obtemos