Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}3 & 3 \\\\ -5 & -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t)\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{l}x(0) \\\ y(0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo com matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}3 & 3 \\\\ -5 & -5\end{pmatrix}
e condição inicial
\begin{pmatrix}x(0) \\\ y(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\\\ 2\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas por decomposição espectral (autovalores e autovetores).

Passo 2

Encontramos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 3 \\\\ -5 & -5-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(-5-\lambda)-(-15) =\lambda^2+2\lambda.
Logo os autovalores são \lambda_1=0 e \lambda_2=-2.

Passo 3

Para \lambda_1=0\) resolvemos \((A-0I)v=0\): \[\begin{cases} 3x+3y=0,\\\\ -5x-5y=0, \end{cases}
que dá y=-x\]. Um autovetor é \[v_1=(1,-1).
Para \lambda_2=-2 resolvemos (A+2I)v=0:
\begin{cases} 5x+3y=0,\\\\ -5x-3y=0, \end{cases}
que dá y=-\tfrac{5}{3}x\]. Um autovetor é \(v_2=(3,-5).

Passo 4

A solução geral do sistema é
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =C_1\,v_1\,e^{0t}+C_2\,v_2\,e^{-2t} =C_1\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +C_2\begin{pmatrix}3\\\ -5\end{pmatrix}e^{-2t}.

Passo 5

Impondo a condição inicial em t=0\), \[C_1\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +C_2\begin{pmatrix}3\\\ -5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\\ 2\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} C_1+3C_2=-2,\\\\ -\,C_1-5C_2=2. \end{cases}
Somando as equações obtemos -2C_2=0\], logo \(C_2=0 e daí C_1=-2.

Passo 6

Substituindo C_1=-2 e C_2=0 na solução geral, temos
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =-2\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\\ 2\end{pmatrix},
que é constante em t.

Resposta

x(t)=-2, \quad y(t)=2.

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