Encontre soluções gerais para os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem.
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}-2 & -1 \\\\ 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x(t) \\\ y(t)\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix}.
O método escolhido é o de autovalores e autovetores, pois temos uma matriz de coeficientes constante.

Passo 2

Para encontrar os autovalores \lambda resolvemos
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & -1\\\ 0 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(-2-\lambda)(3-\lambda)=0.
Dessa equação vêm os autovalores
\lambda_{1}=-2 e \lambda_{2}=3.

Passo 3

Agora achamos um autovetor associado a cada autovalor.
Para \lambda_{1}=-2 resolvemos (A+2I)v_{1}=0, isto é
\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 0 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1x}\v_{1y}\end{pmatrix}=0 \;\Rightarrow\;v_{1y}=0.
Escolhemos v_{1}=(1,0)^{T}.
Para \lambda_{2}=3 resolvemos (A-3I)v_{2}=0, ou seja
\begin{pmatrix}-5 & -1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{2x}\v_{2y}\end{pmatrix}=0 \;\Rightarrow\;v_{2y}=-5\,v_{2x}.
Escolhemos v_{2}=(1,-5)^{T}.

Passo 4

A solução geral é combinação linear das soluções e^{\lambda t}v:
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_{1}\,e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ -5\end{pmatrix},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_{1}\,e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ -5\end{pmatrix},
ou equivalentemente
x(t)=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{3t},\quad y(t)=-5\,C_{2}e^{3t}.

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