Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\operatorname{sec} z=\frac{1}{\cos z}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de \operatorname{sec} z=\frac{1}{\cos z}. O conteúdo é expansão em série de potências em torno de z=0, usando a série de Maclaurin de \cos z e invertendo-a para obter \operatorname{sec} z.

Passo 2

Escrevemos a série de Maclaurin de \cos z:
\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots.

Passo 3

Procuramos uma série de potências da forma
\operatorname{sec} z = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}\,z^{2n},
pois \operatorname{sec} z é função par. O produto \operatorname{sec} z\cdot\cos z deve ser 1. Logo,
\Bigl(\sum_{n=0}^\infty a_{2n}z^{2n}\Bigr)\Bigl(1 - \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{24} - \frac{z^6}{720} + \frac{z^8}{40320} - \cdots\Bigr) = 1.

Passo 4

Equacionamos coeficientes de cada potência de z:
Para z^0:
a_0\cdot 1 = 1 \;\Longrightarrow\; a_0 = 1.
Para z^2:
a_2\cdot 1 + a_0\Bigl(-\tfrac12\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; a_2 = \tfrac12.
Para z^4:
a_4\cdot 1 + a_2\Bigl(-\tfrac12\Bigr) + a_0\Bigl(\tfrac1{24}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; a_4 = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac12 - \tfrac1{24} = \tfrac5{24}.

Passo 5

Continuando para ordens superiores:
Para z^6:
a_6 - \tfrac12\,a_4 + \tfrac1{24}\,a_2 - \tfrac1{720}\,a_0 = 0 \;\Longrightarrow\; a_6 = \tfrac5{48} - \tfrac1{48} + \tfrac1{720} = \tfrac{61}{720}.
Para z^8:
a_8 - \tfrac12\,a_6 + \tfrac1{24}\,a_4 - \tfrac1{720}\,a_2 + \tfrac1{40320}\,a_0 = 0 \;\Longrightarrow\; a_8 = \tfrac{61}{1440} - \tfrac{5}{576} + \tfrac1{1440} - \tfrac1{40320} = \tfrac{277}{8064}.

Resposta

A série de Maclaurin de \operatorname{sec} z é
\operatorname{sec} z = 1 + \frac{1}{2}\,z^2 + \frac{5}{24}\,z^4 + \frac{61}{720}\,z^6 + \frac{277}{8064}\,z^8 + \cdots.

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