com condição inicial \displaystyle\begin{pmatrix}x(0)\y(0)\z(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -5\end{pmatrix}.
Como a matriz é triangular, primeiro resolvemos a equação para z(t) e depois descontamos em x,y.
Passo 2
A equação para z(t) é
z' = 3z,
com z(0)=-5. Esta é uma equação de 1ª ordem linear homogênea, cuja solução é
z(t) = -5\,e^{3t}.
Passo 3
As duas primeiras equações formam o sistema
x' = y, \quad y' = -x - 2\,z(t).
Substituindo z(t)=-5e^{3t} obtemos uma equação de 2ª ordem para x(t):