Determine se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}}{n!}.
Este tipo de questão envolve testes de convergência: primeiro verificamos a convergência absoluta e, se necessário, analisamos a condicional.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}2^{n}}{n!}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}.
Aplicamos o critério da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^{n}}{n!}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} =0<1.
Como o limite é menor que 1, a série dos módulos converge.

Passo 3

Como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} converge, concluímos que a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série alternante sem precisar de mais testes.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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