Use o Teste da Raiz:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Raiz na série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}
para determinar se ela converge.

Passo 2

O Teste da Raiz diz que, dado a_n, se
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}
existe e satisfaz L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Aqui temos a_n = \bigl(\tfrac{n}{2n+1}\bigr)^n, logo
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\bigl(\tfrac{n}{2n+1}\bigr)^n} = \frac{n}{2n+1}.

Passo 4

Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2 + \tfrac1n} = \frac12 < 1.
Portanto L=\tfrac12<1.

Passo 5

Como L<1, pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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