Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{k^{2}}+2\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{1}{k^{2}}+2\Bigr)
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Vamos usar a linearidade de séries e o teste da p-série.

Passo 2

Aplicando a propriedade de linearidade, escrevemos
\sum_{k=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{1}{k^{2}}+2\Bigr) =\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{2}} +\sum_{k=1}^{+\infty}2.

Passo 3

A série
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{2}}
é uma p-série com p=2. Como p>1, essa p-série converge e sua soma conhecida é
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.

Passo 4

A série
\sum_{k=1}^{+\infty}2
é a soma de uma constante 2 infinitas vezes. Os somatórios parciais são
S_{N}=2+2+\cdots+2=2N,
que cresce sem limite quando N\to\infty. Logo, ela diverge para +\infty.

Passo 5

Como a segunda parcela diverge, a soma das duas séries também diverge. A convergência de uma parte não basta para compensar a divergência da outra.

Resposta

A série diverge.

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