Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^{k-1}}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^{k-1}}{3^{k}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, também quer a soma numérica dessa série.
Informações dadas: a série é uma soma infinita com termo geral \displaystyle \frac{2^{k-1}}{3^{k}} para k=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos identificar o tipo de série. Uma série muito comum e fácil de tratar é a série geométrica, que tem termos da forma a r^{k} ou a r^{k-1}. É importante saber a fórmula e o critério de convergência da série geométrica:
  • Definição: uma série geométrica tem a forma \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum.
  • Critério de convergência: a série geométrica converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge 1, diverge.
  • Soma (quando converge): para |r|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=\frac{a}{1-r}.
Explicando as variáveis: a é o coeficiente inicial (o termo multiplicador) e r é a razão que se repete a cada termo.

Passo 3

Precisamos escrever o termo geral \displaystyle \frac{2^{k-1}}{3^{k}} numa forma imediatamente reconhecível como geométrica. Faço uma manipulação algébrica simples:
\frac{2^{k-1}}{3^{k}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2^{k}}{3^{k}}=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Portanto a série pode ser reescrita como
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k-1}}{3^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Aqui o coeficiente a (multiplicador fora da potência) é \displaystyle \frac{1}{2} e a razão r é \displaystyle \frac{2}{3}.

Passo 4

Verificamos o critério de convergência para a razão encontrada: \displaystyle r=\frac{2}{3}. Calculamos o módulo:
\left|r\right|=\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1.
Como |r|<1, a série geométrica converge.

Passo 5

Agora lembro e uso a fórmula da soma para séries geométricas a partir de k=1. Sabendo que
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}\quad\text{para }|r|<1,
temos também, subtraindo o termo k=0,
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}-1=\frac{r}{1-r}.
Se houver um fator constante c multiplicando cada termo, então
\sum_{k=1}^{\infty} c\,r^{k}=c\cdot\frac{r}{1-r}.
Esse é exatamente o caso da nossa série com c=\frac{1}{2} e r=\frac{2}{3}.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}.
Agora faço as simplificações passo a passo:
1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3},
então
\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{1}=2.
Multiplicando pelo fator \displaystyle \frac{1}{2}:
\frac{1}{2}\cdot 2 = 1.

Passo 7

Concluo que a série converge e que sua soma é 1. (Se estiver nervoso na prova: foi só reconhecer que era uma série geométrica com razão \frac{2}{3} e aplicar a fórmula.)

Resposta

Converge e a soma é \;1\;.

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