Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas. \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^{k-1}}{3^{k}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^{k-1}}{3^{k}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, também quer a soma numérica dessa série.
Informações dadas: a série é uma soma infinita com termo geral \displaystyle \frac{2^{k-1}}{3^{k}} para k=1,2,3,\dots.
Passo 2
Vamos identificar o tipo de série. Uma série muito comum e fácil de tratar é a série geométrica, que tem termos da forma a r^{k} ou a r^{k-1}. É importante saber a fórmula e o critério de convergência da série geométrica:
Definição: uma série geométrica tem a forma \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum.
Critério de convergência: a série geométrica converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge 1, diverge.
Soma (quando converge): para |r|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=\frac{a}{1-r}.
Explicando as variáveis: a é o coeficiente inicial (o termo multiplicador) e r é a razão que se repete a cada termo.
Passo 3
Precisamos escrever o termo geral \displaystyle \frac{2^{k-1}}{3^{k}} numa forma imediatamente reconhecível como geométrica. Faço uma manipulação algébrica simples:
Multiplicando pelo fator \displaystyle \frac{1}{2}:
\frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
Passo 7
Concluo que a série converge e que sua soma é 1. (Se estiver nervoso na prova: foi só reconhecer que era uma série geométrica com razão \frac{2}{3} e aplicar a fórmula.)