Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas. \sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2 k}-\frac{1}{3 k}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, devo também obter a sua soma.
Informações dadas: a série é a soma, para k=1,2,\dots, dos termos \frac{1}{2k}-\frac{1}{3k}.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral. Escrevo a diferença com denominador comum:
A série \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k} é a conhecida série harmônica. Se essa série diverge, então qualquer múltiplo não nulo dela também diverge.
Passo 4
Vou mostrar de maneira elementar que a série harmônica diverge. Considere as somas parciais H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}. Agrupando termos em potências de 2 obtemos:
Em cada bloco \left(\frac{1}{2^{j-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{j}}\right) há 2^{j-1} termos e cada um desses termos é maior ou igual a \frac{1}{2^{j}}. Logo a soma de cada bloco é pelo menos
Como m\to\infty implica 1+\frac{m}{2}\to\infty, segue que H_{2^m}\to\infty. Portanto a sequência das somas parciais H_n não é limitada e a série harmônica diverge (tende a +\infty).
Passo 5
Dado que \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k} diverge para +\infty, multiplicando por \frac{1}{6} obtemos que
\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}
também diverge para +\infty. Como a nossa série é exatamente esse múltiplo, concluímos que a série original diverge (tende a +\infty).