Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2 k}-\frac{1}{3 k}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{3k}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, devo também obter a sua soma.
Informações dadas: a série é a soma, para k=1,2,\dots, dos termos \frac{1}{2k}-\frac{1}{3k}.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral. Escrevo a diferença com denominador comum:
\frac{1}{2k}-\frac{1}{3k}=\frac{3}{6k}-\frac{2}{6k}=\frac{1}{6k}.
Portanto a série pode ser reescrita como
\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{3k}\right)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{6k}.

Passo 3

Factoro a constante \frac{1}{6} para fora da soma:
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{6k}=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}.
A série \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k} é a conhecida série harmônica. Se essa série diverge, então qualquer múltiplo não nulo dela também diverge.

Passo 4

Vou mostrar de maneira elementar que a série harmônica diverge. Considere as somas parciais H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}. Agrupando termos em potências de 2 obtemos:
H_{2^m}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{m}}\right).
Em cada bloco \left(\frac{1}{2^{j-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{j}}\right) 2^{j-1} termos e cada um desses termos é maior ou igual a \frac{1}{2^{j}}. Logo a soma de cada bloco é pelo menos
2^{j-1}\cdot\frac{1}{2^{j}}=\frac{1}{2}.
Assim, para m\ge 1,
H_{2^m}\ge 1+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}}_{(m-1)\\ \text{vezes}}=1+\frac{m}{2}.
Como m\to\infty implica 1+\frac{m}{2}\to\infty, segue que H_{2^m}\to\infty. Portanto a sequência das somas parciais H_n não é limitada e a série harmônica diverge (tende a +\infty).

Passo 5

Dado que \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k} diverge para +\infty, multiplicando por \frac{1}{6} obtemos que
\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}
também diverge para +\infty. Como a nossa série é exatamente esse múltiplo, concluímos que a série original diverge (tende a +\infty).

Resposta

Diverge (para +\infty).

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