Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
que é uma série numérica. Vamos usar dois argumentos: (i) um teste rápido de comparação com a série
(para saber se ela converge) e (ii) o método de frações parciais para obter a soma exata, caso ela converja.
Passo 2
Note que
então
Para decompor em frações parciais, escrevemos
Multiplicando por
vem
logo
e
implica
. Assim
e portanto
Passo 3
A série torna-se
Essa soma é do tipo telescópico, pois ao escrever os termos iniciais de
obtemos:
Quase tudo cancela, sobrando
Passo 4
Para verificar convergência, note que
tem limite finito quando
:
Alternativamente, pelo teste de comparação com
(que converge porque
), concluímos também que a série dada converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.