Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
\sum_{n=5}^{+\infty} \frac{1}{3 n^{2}+3 n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=5}^{\infty}\frac{1}{3n^{2}+3n}
que é uma série numérica. Vamos usar dois argumentos: (i) um teste rápido de comparação com a série p (para saber se ela converge) e (ii) o método de frações parciais para obter a soma exata, caso ela converja.

Passo 2

Note que
3n^{2}+3n=3n(n+1),
então
\frac{1}{3n^{2}+3n} =\frac{1}{3n(n+1)} =\frac{1}{3}\,\frac{1}{n(n+1)}.
Para decompor em frações parciais, escrevemos
\frac{1}{n(n+1)} =\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando por n(n+1) vem
1 = A(n+1)+Bn = (A+B)n + A,
logo A=1 e A+B=0 implica B=-1. Assim
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1},
e portanto
\frac{1}{3n^{2}+3n} = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr).

Passo 3

A série torna-se
\sum_{n=5}^{\infty}\frac{1}{3n^{2}+3n} =\frac{1}{3}\sum_{n=5}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr).
Essa soma é do tipo telescópico, pois ao escrever os termos iniciais de S_{N} obtemos:
S_{N} =\frac{1}{3}\Bigl[(\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{6})+(\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{7})+\cdots+(\tfrac{1}{N}-\tfrac{1}{N+1})\Bigr].
Quase tudo cancela, sobrando
S_{N} =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{N+1}\Bigr).

Passo 4

Para verificar convergência, note que S_{N} tem limite finito quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{5}-0\Bigr) =\frac{1}{15}.
Alternativamente, pelo teste de comparação com \sum1/n^{2} (que converge porque p=2>1), concluímos também que a série dada converge.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{1}{15}.

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