Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também pede para encontrar a soma (o valor para o qual a soma das parcelas converge).
Informações dadas: a expressão geral da -ésima parcela é
para
.
Informações dadas: a expressão geral da
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão dentro do log. Vou tentar fatorar
e
.
Calculemos a fatoração do numerador:
pois
.
O denominador tem fator comum
:
Portanto a parcela pode ser reescrita como
Passo 3
Usamos a propriedade dos logaritmos
para dividir a expressão em duas parcelas mais simples:
Então a série original se torna soma de duas séries:
isto é, para a soma parcial até
definimos
Passo 4
Calculemos a primeira soma parcial:
Isso é
do produto telescópico:
O produto
simplifica porque cada
cancela o
do termo seguinte, resultando em
Logo
Passo 5
Agora a segunda soma parcial:
Escrevendo os fatores, o produto é
repare que há cancelamentos em cadeia: o
do denominador do primeiro fator cancela com o
do numerador do segundo, e assim por diante. Tudo se cancela, restando no numerador apenas
e no denominador apenas
. Assim
e consequentemente
Passo 6
Juntando as duas partes, a soma parcial
é
Agora investigamos o limite quando
. Calculamos
porque os termos de maior ordem em
dominam e
. Então
Como a sequência das somas parciais converge para um número finito, a série é convergente, e seu valor é
.
Resposta
Convergente, soma