Determine se as séries
\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n^{2}+3}}
convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n^{2}+3}}
converge ou diverge. O conteúdo da matéria é séries infinitas e vamos usar o critério de comparação por limite (limit comparison test) comparando com a série harmônica \sum 1/n.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{2n^{2}+3}}
e vamos comparar com
b_{n} = \frac{1}{n},
cuja série \sum b_{n} é conhecida por divergir (série harmônica).

Passo 3

Aplicamos o critério de comparação por limite:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/\sqrt{2n^{2}+3}}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{2n^{2}+3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Como 0< L<\infty, ambas as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento.

Passo 4

Sabendo que \sum b_{n}=\sum1/n diverge, concluímos que \sum a_{n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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