Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente os testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absoluta ou condicionalmente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a soma dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se converge, então a série original é absolutamente convergente.
Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a série é condicionalmente convergente. E se nem a série original nem a dos valores absolutos convergem, a série é divergente.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Agora, precisamos verificar se essa série converge. Como os termos envolvem fatoriais, que crescem muito rápido, um bom teste para usar aqui é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).
Passo 4
O Teste da Razão diz que, para uma série sum an, calculamos:
L = limn to infty (2n+1)(2n)3 = limn to infty 4n^2 + 2n3 = +infty
Como L é maior que 1 (na verdade, tende ao infinito), segundo o Teste da Razão, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos divergiu, precisamos verificar se a série original pode ser condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bn = |an| são decrescentes e tendem a zero, então a série alternada sum (-1)^n bn converge.
Vamos analisar os termos bn = (2n-1)!3^n:
Tendência a zero: Vamos ver se limn to infty (2n-1)!3^n = 0 .
Sabemos que fatoriais crescem muito mais rápido que exponenciais. Ou seja, (2n-1)! cresce super-exponencialmente, enquanto 3^n cresce apenas exponencialmente. Portanto:
limn to infty (2n-1)!3^n = +infty neq 0
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não é satisfeito.
Passo 6
Já que a série dos valores absolutos divergiu e a série alternada não passou no teste de convergência condicional, concluímos que a série original não converge.
Resposta
A série sumn=1^+infty(-1)^n cdot (2 n-1)!3^n é divergente.