Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n cdot (2 n-1)!3^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a série sumn=1^+infty(-1)^n cdot (2 n-1)!3^n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absoluta ou condicionalmente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a soma dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se sum |an| converge, então a série original sum an é absolutamente convergente.
Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a série é condicionalmente convergente. E se nem a série original nem a dos valores absolutos convergem, a série é divergente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^+infty | (-1)^n cdot (2n-1)!3^n | = sumn=1^+infty (2n-1)!3^n
Agora, precisamos verificar se essa série converge. Como os termos envolvem fatoriais, que crescem muito rápido, um bom teste para usar aqui é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).

Passo 4

O Teste da Razão diz que, para uma série sum an, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série absoluta:
an = (2n-1)!3^n
Então:
an+1an = (2(n+1)-1)!3^n+1 cdot 3^n(2n-1)! = (2n+1)!3^n+1 cdot 3^n(2n-1)! = (2n+1)(2n)(2n-1)!3 cdot 3^n cdot 3^n(2n-1)! = (2n+1)(2n)3
Então, o limite fica:
L = limn to infty (2n+1)(2n)3 = limn to infty 4n^2 + 2n3 = +infty
Como L é maior que 1 (na verdade, tende ao infinito), segundo o Teste da Razão, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos divergiu, precisamos verificar se a série original pode ser condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bn = |an| são decrescentes e tendem a zero, então a série alternada sum (-1)^n bn converge.
Vamos analisar os termos bn = (2n-1)!3^n:
  1. Tendência a zero: Vamos ver se limn to infty (2n-1)!3^n = 0 .
Sabemos que fatoriais crescem muito mais rápido que exponenciais. Ou seja, (2n-1)! cresce super-exponencialmente, enquanto 3^n cresce apenas exponencialmente. Portanto:
limn to infty (2n-1)!3^n = +infty neq 0
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não é satisfeito.

Passo 6

Já que a série dos valores absolutos divergiu e a série alternada não passou no teste de convergência condicional, concluímos que a série original não converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty(-1)^n cdot (2 n-1)!3^n é divergente.

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