Determine se as séries de Taylor (on Maclaurin) das funģöes centrada em a e verifique se a funģão é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
f(x)=e^-x x, a=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^-x^2 em torno de a=0 e que verifiquemos se a função coincide com sua série. O conteúdo envolve séries de Taylor, critérios de convergência e propriedades de funções analíticas.

Passo 2

Conhecemos a expansão de Maclaurin de e^t:
e^t = sumn=0^infty t^nn!,
pois todas as derivadas de e^t em t=0 valem 1.

Passo 3

Fazendo a substituição t=-x^2, obtemos
e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn!

Passo 4

Para achar o raio de convergência, aplicamos o critério da razão aos coeficientes an = (-1)^n x^2n/n!:
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|x|^2n+1 = 0 < 1,
logo o raio é infinito e a série converge para todo xinR.

Passo 5

A função e^-x^2 é analítica em R (é composição de funções inteiras) e sua expansão em série de potências possui raio de convergência infinito. Portanto, a soma da série coincide com e^-x^2 para todo x.

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=e^-x^2 é
sumn=0^infty(-1)^n x^2nn!,
e ela converge para e^-x^2 em todo R.

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