Determine se as séries de Taylor (on Maclaurin) das funģöes centrada em a e verifique se a funģão é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de em torno de e que verifiquemos se a função coincide com sua série. O conteúdo envolve séries de Taylor, critérios de convergência e propriedades de funções analíticas.
Passo 2
Conhecemos a expansão de Maclaurin de :
pois todas as derivadas de em valem .
Passo 3
Fazendo a substituição , obtemos
Passo 4
Para achar o raio de convergência, aplicamos o critério da razão aos coeficientes :
logo o raio é infinito e a série converge para todo xinR.
Passo 5
A função e^-x^2 é analítica em R (é composição de funções inteiras) e sua expansão em série de potências possui raio de convergência infinito. Portanto, a soma da série coincide com e^-x^2 para todo x.