Use o método de separaçāo de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a soluçäo de (h) (Corda Dedilhada)
Passo 1
O problema é a equação da corda vibrante
utt = c^2,uxx, 0<x<L,;t>0, com condições de contorno u(0,t)=0, u(L,t)=0, e condições iniciais u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0, onde f(x)= dfracha,x,&0<= x<= a,[1em] h,dfracL-xL-a,&a<= x<= L
O método de separação de variáveis leva a expandir u(x,t) em série de senos que satisfazem as CC.]
Passo 2
Procuramos solução da forma
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE e dividindo por c^2XT obtém-se
T''c^2T=X''X=-lambda,
com lambda>0 para não-trivialidade. As CC em x=0,L impõem
X(0)=0, X(L)=0,
cuja família de autovalores é
lambdan=l(tfracnpiLr)^2, n=1,2,dots,
e autofunções
Xn(x)=sin!l(tfracnpi xLr)
A equação temporal associada é
Tn'' + c^2l(tfracnpiLr)^2Tn=0,
cuja solução geral é combinação de cos e sin.
Passo 3
A combinação linear de todos os modos dá a solução geral