Use o método de separaçāo de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a soluçäo de (h) (Corda Dedilhada)
ll uxt=c^2 ux x & se 0<x<L e t>0, u(0, t)=u(L, t)=0 & se t >= 0, u(x, 0)=f(x) & se 0 <= x <= L, ur(x, 0)=0 & se 0 <= x <= L, com f(x)= ha x & se 0 <= x <= a, h L-xL-a & se a <= x <= L

Passo 1

O problema é a equação da corda vibrante
utt = c^2,uxx, 0<x<L,;t>0, com condições de contorno u(0,t)=0, u(L,t)=0, e condições iniciais u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0, onde f(x)= dfracha,x,&0<= x<= a,[1em] h,dfracL-xL-a,&a<= x<= L
O método de separação de variáveis leva a expandir u(x,t) em série de senos que satisfazem as CC.]

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE e dividindo por c^2XT obtém-se
T''c^2T=X''X=-lambda,
com lambda>0 para não-trivialidade. As CC em x=0,L impõem
X(0)=0, X(L)=0,
cuja família de autovalores é
lambdan=l(tfracnpiLr)^2, n=1,2,dots,
e autofunções
Xn(x)=sin!l(tfracnpi xLr)
A equação temporal associada é
Tn'' + c^2l(tfracnpiLr)^2Tn=0,
cuja solução geral é combinação de cos e sin.

Passo 3

A combinação linear de todos os modos dá a solução geral
u(x,t) =sumn=1^inftyl(Ancos!tfracnpi c,tL +Bnsin!tfracnpi c,tLr) ,sin!tfracnpi xL

Passo 4

Impondo ut(x,0)=0 segue que todos os Bn=0. Em seguida u(x,0)=f(x) implica
f(x)=sumn=1^inftyAn,sin!tfracnpi xL,
onde os coeficientes An são dados por
An=2Lintegral0^Lf(x),sin!tfracnpi xL,dx

Passo 5

Calculamos
I1=integral0^a hax,sin!tfracnpi xL,dx, I2=integrala^L h,L-xL-a,sin!tfracnpi xL,dx
Usando integração por partes em cada trecho obtém-se
I1=-h,Lnpicos!tfracnpi aL +h,L^2a,n^2pi^2sin!tfracnpi aL,
I2= h,Lnpicos!tfracnpi aL +h,L^2(L-a),n^2pi^2sin!tfracnpi aL
Somando e multiplicando por 2/L fica
An =2L,(I1+I2) =2,h,L^2n^2pi^2,a,(L-a), sin!tfracnpi aL

Resposta

A solução do problema é
boxed u(x,t) =sumn=1^infty l(tfrac2,h,L^2n^2pi^2,a,(L-a), sin!tfracnpi aLr) cos!tfracnpi c,tL, sin!tfracnpi xL

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