Use o método de separaçāo de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a soluçäo de (f) (Corda sujeita à açāo de uma força restauradora)
Passo 1
O enunciado pede a solução da corda com força restauradora, dada pela PDE \r
utt=c^2uxx-alpha u, 0<x<L,;t>0, \r
com condições de contorno \r
u(0,t)=0, u(L,t)=0, \r
e condições iniciais \r
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x) \r
Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar u(x,t).
Passo 2
Procuramos solução do tipo \r
u(x,t)=X(x),T(t) \r
Substituindo em utt=c^2uxx-alpha u e dividindo por c^2X(x)T(t) obtém-se \r
T''(t)c^2T(t)-alphac^2=X''(x)X(x)=-lambda, \r
onde lambda é a constante de separação.
Passo 3
Do lado espacial temos o problema de autovalores \r