Use o método de separaçāo de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a soluçäo de (f) (Corda sujeita à açāo de uma força restauradora)
ut=c^2 ux x-alpha u & se 0<x<L e t>0, alpha>0, u(0, t)=0, u(L, t)=0 & se t >= 0, u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=g(x) & se 0 <= x <= L

Passo 1

O enunciado pede a solução da corda com força restauradora, dada pela PDE \r
utt=c^2uxx-alpha u, 0<x<L,;t>0, \r
com condições de contorno \r
u(0,t)=0, u(L,t)=0, \r
e condições iniciais \r
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x) \r
Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar u(x,t).

Passo 2

Procuramos solução do tipo \r
u(x,t)=X(x),T(t) \r
Substituindo em utt=c^2uxx-alpha u e dividindo por c^2X(x)T(t) obtém-se \r
T''(t)c^2T(t)-alphac^2=X''(x)X(x)=-lambda, \r
onde lambda é a constante de separação.

Passo 3

Do lado espacial temos o problema de autovalores \r
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X(L)=0 \r
As soluções não-triviais ocorrem para \r
lambdan=l(npiLr)^2, n=1,2,3,dots,
com autofunções
Xn(x)=sinl(npi xLr)

Passo 4

O lado temporal satisfaz \r
T''(t)+l(c^2lambdan+alphar)T(t)=0, \r
ou seja \r
T''(t)+omegan^2T(t)=0, omegan=raizc^2l(npiLr)^2+alpha \r
A solução geral é \r
Tn(t)=Ancos(omegant)+Bnsin(omegant)

Passo 5

Pela superposição, a solução fica \r
u(x,t)=sumn=1^inftyl[Ancos(omegant)+Bnsin(omegant)r]sinl(npi xLr) \r
Impondo as condições iniciais \r
u(x,0)=f(x);Longrightarrow; f(x)=sumn=1^inftyAnsinl(npi xLr),
ut(x,0)=g(x);Longrightarrow; g(x)=sumn=1^inftyBn,omegansinl(npi xLr),
usamos as fórmulas de Fourier para obter
An=2Lintegral0^Lf(s)sinl(npi sLr),ds, Bn=2omeganLintegral0^Lg(s)sinl(npi sLr),ds

Resposta

u(x,t)=sumn=1^inftygl[2L!integral0^Lf(s)sin!l(tfracnpi sLr),ds;cos(omegant) +2omeganL!integral0^Lg(s)sin!l(tfracnpi sLr),ds;sin(omegant)gr]sinl(npi xLr),
onde
omegan=raizc^2l(tfracnpiLr)^2+alpha

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