Determine qual das siguientes matrizes está na forma linha reduzida à forma escada. Caso a matriz não estiver na sua forma escada, reduza a matriz à forma escada. Determine o posto e nulidade das matrizes. .
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 2 & 3 0 & 0 & 4 0 & 1 & 0
e pede (a) verificar se ela já está em forma escalonada por linhas, (b) caso não esteja, reduzi-la a essa forma, e (c) determinar o posto e a nulidade. Para isso vamos usar o conceito de pivôs em forma escalonada: cada linha não nula deve ter seu primeiro elemento não nulo (“pivô”) estritamente à direita do pivô da linha acima.
Passo 2
Vamos identificar os pivôs em cada linha de A:
– Linha 1: primeiro não nulo em coluna 1 (pivô em a11=1).
– Linha 2: primeiro não nulo em coluna 3 (pivô em a23=4).
– Linha 3: primeiro não nulo em coluna 2 (pivô em a32=1).
Repare que o pivô da linha 3 está em coluna 2, à esquerda do pivô da linha 2 (coluna 3). Logo, não está em forma escalonada.
Passo 3
Para obter forma escalonada basta trocar as linhas 2 e 3. Aplicando R2rightarrow R3 em A, temos
A'= 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4
Agora os pivôs estão em colunas 1,2,3, cada um deslocado à direita do pivô da linha anterior, portanto A' está em forma escalonada.
Passo 4
Na forma escalonada A' há três linhas não nulas e três pivôs (um em cada coluna).
– O posto de A é o número de pivôs:
posto(A)=3
– A nulidade (dimensão do núcleo) é o número de colunas menos o posto:
nulidade(A)=3 - 3 = 0
Resposta
A matriz original não estava em forma escalonada. A forma escalonada obtida é