Determine, por simples inspeção, se os vetores dos Exercícios 15 a 20 são linearmente independentes. Justifique cada resposta.
19.
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em R^3:
v1 = -812-4, v2 = 2-3-1
e pede para, por inspeção, decidir se eles são linearmente independentes. Para isso, basta verificar se existe um escalar c tal que v1 = c,v2. Se não existir, eles são linearmente independentes.
Passo 2
Suponha que exista cinR tal que
-812-4 = c 2-3-1
Pela primeira coordenada temos
-8 = ccdot 2 Longrightarrow c = -4
Usando esse c na segunda coordenada:
12 stackrel?= (-4)cdot(-3) = 12,
a segunda coordenada bate. Porém, na terceira coordenada:
-4 stackrel?= (-4)cdot(-1) = 4,
o que é falso. Logo não existe escalar c que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes, pois um não é múltiplo escalar do outro.