Os Exercícios 31 e 32 devem ser resolvidos sem realizar qualquer operação elementar. [Sugestão: Escreva A x=0 como uma equação vetorial.]
31. Dada a matriz A=[rrr2 & 3 & 5 -5 & 1 & -4 -3 & -1 & -4 1 & 0 & 1], note que a terceira coluna é a soma das duas primeiras. Determine uma solução não trivial de A x=0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & 3 & 5 -5 & 1 & -4 -3 & -1 & -4 1 & 0 & 1
e pede uma solução não trivial de Ax=0. O conteúdo aqui é o espaço nulo de A e a dependência linear de suas colunas.

Passo 2

Escrevendo Ax=0 como equação vetorial, temos
Ax=x1c1+x2c2+x3c3=0,
onde cj é a j-ésima coluna de A. Note que
c3=c1+c2

Passo 3

Substituindo c3 obtém-se
x1c1+x2c2+x3(c1+c2) =(x1+x3)c1+(x2+x3)c2=0
Como c1 e c2 são independentes, seus coeficientes devem ser zero:
x1+x3=0, x2+x3=0

Passo 4

Das equações segue
x1=-,x3, x2=-,x3
Para uma solução não trivial escolhemos, por exemplo, x3=1. Então
x=(x1,x2,x3)^T=(-1,-1,1)^T

Resposta

x=(-1,-1,1)^T.

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