Determine o sinal associado a cada uma das seguintes permutações de S=1,2,3,4,5
21345

Passo 1

O enunciado pede o sinal (paridade) da permutação de S=1,2,3,4,5 dada em notação de linha única por
pi=(2,1,3,4,5),
ou seja, pi(1)=2, pi(2)=1, e pi(i)=i para i=3,4,5. Para isso vamos usar o método de contagem de inversões.

Passo 2

Uma inversão numa permutação é um par de índices tal que . O número total de inversões, que chamaremos de , determina o sinal pela fórmula

Passo 3

Listando a permutação (2,1,3,4,5), verifique os pares (ai,aj) com i<j:
  • Para i=1 e j=2: (a1,a2)=(2,1) é inversão porque 2>1.
  • Para quaisquer outros j>i temos ou 2<3,4,5 ou 1<3,4,5, logo não há mais inversões.
    Assim, o total de inversões é
N=1

Passo 4

Aplicando
concluímos que a permutação é ímpar.

Resposta

(ímpar)

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