Mostre que
A+u=B+u Longrightarrow A=B;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a lei de cancelamento na soma de vetores:
A + u = B + u Longrightarrow A = B
O conteúdo envolve as propriedades de um espaço vetorial: existência de inverso aditivo, elemento neutro, associatividade e comutatividade da soma.

Passo 2

Em todo espaço vetorial existe, para cada vetor u, o inverso aditivo -u tal que
u + (-u) = 0,
onde 0 é o vetor nulo. Além disso, a soma de vetores é associativa e comutativa.

Passo 3

A partir de
A + u = B + u,
somamos ambos os lados pelo vetor -u:
(A + u) + (-u) = (B + u) + (-u)
Usando associatividade e comutatividade:
A + (u + (-u)) = B + (u + (-u)) ;Longrightarrow; A + 0 = B + 0
E como X + 0 = X para todo vetor X, segue
A = B

Resposta

A = B

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