Determine o sinal associado a cada uma das seguintes permutações de S=1,2,3,4,5
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Passo 1

O enunciado nos dá a permutação
sigma = 1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 2 & 3 & 4 & 1
sobre o conjunto S=1,2,3,4,5. Queremos determinar o sinal (paridade) de sigma. Para isso, vamos usar o método de contagem de inversões, lembrando que
sgn(sigma) = (-1)^#inversões de sigma õ

Passo 2

Definimos inversão como um par de índices i<j tais que sigma(i)>sigma(j). Vamos percorrer todos os pares 1<= i<j<=5 e contar quantos satisfazem essa condição.

Passo 3

Listando as imagens:
sigma(1)=5, sigma(2)=2, sigma(3)=3, sigma(4)=4, sigma(5)=1.
Para i=1:
sigma(1)=5 é maior que sigma(2)=2, sigma(3)=3, sigma(4)=4 e sigma(5)=1. Isso dá 4 inversões.
Para i=2:
sigma(2)=2 é maior que sigma(5)=1. Mais 1 inversão.
Para i=3:
sigma(3)=3 é maior que sigma(5)=1. Mais 1 inversão.
Para i=4:
sigma(4)=4 é maior que sigma(5)=1. Mais 1 inversão.
Somando, o total de inversões é
4 + 1 + 1 + 1 = 7

Passo 4

Como o número de inversões é 7, ímpar, temos
sgn(sigma) = (-1)^7 = -1

Resposta

A permutação é ímpar, portanto sgn(sigma) = -1.

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