Queremos provar que F é base se, e somente se, alpha1,alpha2,alpha3 são todos não-nulos. Para isso vamos usar a definição de base: conjunto de três vetores em dimensão 3 que seja linearmente independente (e equiv. que gere o espaço).
Passo 2
Suponha que alpha1,alpha2,alpha3neq 0. Vamos primeiro mostrar que F é linearmente independente. Considere uma combinação linear nula:
Como E é linearmente independente, cada coeficiente deve ser zero:
alpha1c1=0, alpha2c2=0, alpha3c3=0
E, por hipótese alphaineq0, segue c1=c2=c3=0. Logo F é linearmente independente. Em dimensão 3, um conjunto de três vetores linearmente independentes forma base. Alternativamente, para ver que F gera o espaço, basta escrever qualquer vetor overrightarrow v=x1overrightarrow e1+x2overrightarrow e2+x3overrightarrow e3 como
overrightarrow v =x1alpha1(alpha1overrightarrow e1) +x2alpha2(alpha2overrightarrow e2) +x3alpha3(alpha3overrightarrow e3),
o que mostra que F gera todo o espaço.
Passo 3
Agora suponha que algum alphak=0. Então alphakoverrightarrow ek=overrightarrow 0 pertence a F. Mas qualquer conjunto de vetores que contenha o vetor nulo é linearmente dependente, logo F não pode ser base. Portanto, se F é base é preciso que todos os alphai sejam não-nulos.
Resposta
F é base se, e somente se, alpha1,alpha2,alpha3neq 0.