Exercício 11. Seja E=e1, e2, e3 uma base. Prove que F=alpha1 e1, alpha2 e2, alpha3 e3 é base se, e somente se, alpha1, alpha2 e alpha3 são não-nulos.

Passo 1

O enunciado diz que E=overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3 é uma base de um espaço vetorial de dimensão 3 e define
F=alpha1overrightarrow e1,,alpha2overrightarrow e2,,alpha3overrightarrow e3
Queremos provar que F é base se, e somente se, alpha1,alpha2,alpha3 são todos não-nulos. Para isso vamos usar a definição de base: conjunto de três vetores em dimensão 3 que seja linearmente independente (e equiv. que gere o espaço).

Passo 2

Suponha que alpha1,alpha2,alpha3neq 0. Vamos primeiro mostrar que F é linearmente independente. Considere uma combinação linear nula:
c1(alpha1overrightarrow e1)+c2(alpha2overrightarrow e2)+c3(alpha3overrightarrow e3)=overrightarrow 0
Isso equivale a
alpha1c1,overrightarrow e1+alpha2c2,overrightarrow e2+alpha3c3,overrightarrow e3=overrightarrow 0
Como E é linearmente independente, cada coeficiente deve ser zero:
alpha1c1=0, alpha2c2=0, alpha3c3=0
E, por hipótese alphaineq0, segue c1=c2=c3=0. Logo F é linearmente independente. Em dimensão 3, um conjunto de três vetores linearmente independentes forma base. Alternativamente, para ver que F gera o espaço, basta escrever qualquer vetor overrightarrow v=x1overrightarrow e1+x2overrightarrow e2+x3overrightarrow e3 como
overrightarrow v =x1alpha1(alpha1overrightarrow e1) +x2alpha2(alpha2overrightarrow e2) +x3alpha3(alpha3overrightarrow e3),
o que mostra que F gera todo o espaço.

Passo 3

Agora suponha que algum alphak=0. Então alphakoverrightarrow ek=overrightarrow 0 pertence a F. Mas qualquer conjunto de vetores que contenha o vetor nulo é linearmente dependente, logo F não pode ser base. Portanto, se F é base é preciso que todos os alphai sejam não-nulos.

Resposta

F é base se, e somente se, alpha1,alpha2,alpha3neq 0.

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