Exercício 10. Sejam E=e1, e2, e3 uma base e
& f1=e1+e2+e3 & f2=e2+e3 & f3=e3
Mostre que F=f1, f2, f3 é uma base.

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço vetorial V de dimensão 3 com base canônica E=e1,e2,e3. Definimos novas famílias
f1=e1+e2+e3, f2=e2+e3, f3=e3
Queremos mostrar que F=f1,f2,f3 também é base de V. Para isso basta provar que F é linearmente independente (já que tem 3 vetores num espaço de dimensão 3) ou que gera V.

Passo 2

Para testar linear independência, suponha que
alpha1,f1+alpha2,f2+alpha3,f3=0
Substituindo as definições em termos de ei, temos
alpha1(e1+e2+e3) +alpha2(e2+e3) +alpha3,e3 =alpha1e1 +(alpha1+alpha2)e2 +(alpha1+alpha2+alpha3)e3 =0
Como e1,e2,e3 é base, os coeficientes devem ser zero:
alpha1=0,alpha1+alpha2=0,alpha1+alpha2+alpha3=0
Daí alpha1=0, alpha2=0 e alpha3=0. Logo F é linearmente independente.

Passo 3

Temos 3 vetores em F que são linearmente independentes num espaço de dimensão 3. Logo dimlang<= Frang<==3, ou seja, F gera V. Assim F satisfaz as duas condições de base (independência e geração).

Resposta

Concluímos que F=f1,f2,f3 é uma base de V.

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