O enunciado nos dá um espaço vetorial V de dimensão 3 com base canônica E=e1,e2,e3. Definimos novas famílias
f1=e1+e2+e3, f2=e2+e3, f3=e3
Queremos mostrar que F=f1,f2,f3 também é base de V. Para isso basta provar que F é linearmente independente (já que tem 3 vetores num espaço de dimensão 3) ou que gera V.
Como e1,e2,e3 é base, os coeficientes devem ser zero:
alpha1=0,alpha1+alpha2=0,alpha1+alpha2+alpha3=0
Daí alpha1=0, alpha2=0 e alpha3=0. Logo F é linearmente independente.
Passo 3
Temos 3 vetores em F que são linearmente independentes num espaço de dimensão 3. Logo dimlang<= Frang<==3, ou seja, F gera V. Assim F satisfaz as duas condições de base (independência e geração).