Determine o sinal das permutações dos símbolos 1,2,3,4 e 5 , nos itens abaixo:
alpha1=(35412)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o sinal (paridade) da permutação
alpha1=(3,5,4,1,2)
sobre o conjunto 1,2,3,4,5. O conteúdo envolvido é teoria de grupos finitos, mais precisamente paridade de permutações. Para resolver, precisamos lembrar como expressar a paridade de um ciclo em termos de transposições.

Passo 2

Uma regra geral é que um ciclo de comprimento k pode ser decomposto em k-1 transposições. Como cada transposição é uma permutação ímpar, o sinal de um ciclo de comprimento k vale
sgn = (-1)^k-1

Passo 3

No caso de alpha1 temos um ciclo de comprimento k=5. Logo
sgn(alpha1) = (-1)^5-1 = (-1)^4 = +1,
o que indica que alpha1 é uma permutação par.

Resposta

A permutação alpha1=(3,5,4,1,2) é par, pois
sgn(alpha1) = +1

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