Seja [ai j]n times n in Mn(C). Dizemos que A é HERMITiana se, e somente se, barA=A^t.
Determine todas as matrizes HERMITianas de M2(C).

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as matrizes hermitianas em M2(C). Lembrando que A é hermitiana se, e somente se, barA=A^t. Vamos então escrever uma matriz genérica 2times2, aplicar essa condição e ver quais restrições surgem em cada entrada.

Passo 2

Seja
A = a11 & a12 a21 & a22 ,
com aijinC. A condição barA=A^t equivale, para cada par (i,j), a
baraij = aji
Em particular:
bara11 = a11, bara22 = a22, bara12 = a21

Passo 3

Das igualdades bara11=a11 e bara22=a22 concluímos que a11 e a22 são reais. Chamemos
a11 = alphainR, a22 = betainR
Da igualdade bara12=a21 basta definir
a12 = zinC,
que implica
a21 = barz

Passo 4

Reunindo tudo, a forma geral de uma matriz hermitiana em M2(C) é
A = alpha & z barz & beta ,
onde alpha,betainR e zinC.

Resposta

As matrizes hermitianas de M2(C) são exatamente
A = alpha & z barz & beta com alpha,betainR, zinC

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