Mostre que theta=[ll2 & 0 0 & 1]2 times 2,[cc-1 & 0 0 & 0]2 times 2 não é um conjunto ortonormal, em relação ao produto interno definido no exercício 20. Exiba um conjunto ortonormal contendo 3 matrizes de M3(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
theta=lA=2&00&1,;B=-1&00&0r
não é ortonormal em M2(R) com o produto interno do exercício 20, e em seguida exibir um conjunto ortonormal de 3 matrizes em M3(R). O conteúdo é espaços com produto interno, ortogonalidade e norma de Frobenius.

Passo 2

Recordando que, para qualquer A,Bin Mn(R), o produto interno de Frobenius é
llang<= A,Brrang<==trl(A^TBr) =sumi,jaijbij
Um conjunto Xi é ortonormal se e somente se
llang<= Xi,Xjrrang<==de<aij,
isto é, |Xi|=1 e lang<= Xi,Xjrang<==0 para ineq j.

Passo 3

Calculemos as normas de A e B:
lang<= A,Arang<= =tr(A^TA) =2^2+0^2+0^2+1^2 =5,
logo |A|=raiz5neq1.
lang<= B,Brang<= =tr(B^TB) =(-1)^2+0+0+0 =1,
logo |B|=1.

Passo 4

Calculemos o produto interno entre A e B:
lang<= A,Brang<= =tr(A^TB) =2cdot(-1)+0+0+1cdot0 =-2neq0

Passo 5

Como |A|neq1 e lang<= A,Brang<=neq0, o conjunto A,B falha tanto na condição de vetores unitários quanto na de vetores mutuamente ortogonais. Portanto theta não é ortonormal.

Passo 6

Em M3(R) consideremos as matrizes
E11=1&0&00&0&00&0&0, E22=0&0&00&1&00&0&0, E33=0&0&00&0&00&0&1
Para i,jin1,2,3 temos
lang<= Eii,Ejjrang<= =tr(Eii^TEjj) =de<aij,
pois cada Eii tem exatamente um “1” na diagonal e os demais zeros. Assim |Eii|=1 e são mutuamente ortogonais, daí E11,E22,E33 é um conjunto ortonormal.

Resposta

theta não é ortonormal porque
|A|=raiz5neq1 e lang<= A,Brang<==-2neq0.
Um exemplo de conjunto ortonormal em M3(R) é
E11,E22,E33, onde Eii tem um único “1” na posição (i,i) e zeros nos demais lugares.

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