Mostre que não é um conjunto ortonormal, em relação ao produto interno definido no exercício 20. Exiba um conjunto ortonormal contendo 3 matrizes de M3(R).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
theta=lA=2&00&1,;B=-1&00&0r
não é ortonormal em M2(R) com o produto interno do exercício 20, e em seguida exibir um conjunto ortonormal de 3 matrizes em M3(R). O conteúdo é espaços com produto interno, ortogonalidade e norma de Frobenius.
Passo 2
Recordando que, para qualquer A,Bin Mn(R), o produto interno de Frobenius é
llang<= A,Brrang<==trl(A^TBr) =sumi,jaijbij
Um conjunto Xi é ortonormal se e somente se
llang<= Xi,Xjrrang<==de<aij,
isto é, |Xi|=1 e lang<= Xi,Xjrang<==0 para ineq j.
Como |A|neq1 e lang<= A,Brang<=neq0, o conjunto A,B falha tanto na condição de vetores unitários quanto na de vetores mutuamente ortogonais. Portanto theta não é ortonormal.
pois cada Eii tem exatamente um “1” na diagonal e os demais zeros. Assim |Eii|=1 e são mutuamente ortogonais, daí E11,E22,E33 é um conjunto ortonormal.
Resposta
theta não é ortonormal porque |A|=raiz5neq1 e lang<= A,Brang<==-2neq0.
Um exemplo de conjunto ortonormal em M3(R) é E11,E22,E33, onde Eii tem um único “1” na posição (i,i) e zeros nos demais lugares.