Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja:
e) S=(1-t, 2 s, t): s, t in R;

Passo 1

O enunciado pede um sistema de equações lineares em R^3 cuja solução seja exatamente
S = (1 - t,,2s,,t)colon s,tinR
O que temos aqui é um plano afim em R^3 (dois parâmetros livres), então basta achar uma equação linear que o descreva.

Passo 2

Escrevemos o ponto inicial e os vetores de direção de S.
Ponto base:
p = (1,0,0),
vetores de direção:
v1 = (0,2,0), v2 = (-1,0,1)

Passo 3

Para caracterizar o plano, encontramos um vetor normal n a ele, usando o produto vetorial
n = v1 times v2 = (0,2,0)times(-1,0,1) = (2cdot1 - 0cdot0,;0cdot(-1)-0cdot1,;0cdot0-2cdot(-1)) = (2,0,2)
Podemos simplificar n para
n = (1,0,1)

Passo 4

A equação cartesiana do plano é
ncdot(x - p) = 0,
ou seja
(1,0,1)cdot (x1 - 1,;x2 - 0,;x3 - 0) = 0 ;Longrightarrow; x1 + x3 - 1 = 0

Passo 5

Verificamos que todo ponto de S satisfaz x1 + x3 = 1 e, por outro lado, qualquer (x1,x2,x3) que satisfaça essa equação pode ser escrito em termos de s e t como em S. Logo o sistema procurado é justamente essa única equação.

Resposta

x1 + x3 = 1

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