Sempre que possivel, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
d) [lll1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Aqui o conteúdo é inversão de matrizes triangulares. Como A é triangular inferior de posto completo e tem todos os pivôs iguais a 1, podemos usar a decomposição A = I + L, em que L é a parte estritamente inferior, e aproveitar que L é nilpotente.

Passo 2

Definimos
L = A - I = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0
Repare que L é estritamente triangular inferior e, portanto, L^3 = 0.

Passo 3

Calculamos L^2 por multiplicação de matrizes:
L^2 = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0

Passo 4

Como ,L^3=0, aplicamos a série de Neumann para matrizes unitárias:
A^-1 = (I + L)^-1 = I - L + L^2

Passo 5

Somando termo a termo:
I - L + L^2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 + 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1

Resposta

A^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1

Exercícios relacionados