Determine se o sistema é inversível ou não-inversível:
y(t)=t x(t)

Passo 1

O enunciado dá a relação entre entrada e saída do sistema:
y(t)=t\,x(t).
A pergunta é: determinar se esse sistema é inversível ou não-inversível.
Informações relevantes fornecidas:
  • A lei do sistema é exatamente y(t)=t\,x(t) para todo t.
  • Não há outras restrições explicitadas sobre o conjunto de sinais considerados (assume‑se o conjunto usual de sinais definidos ponto a ponto).

Passo 2

O que significa “inversível” aqui — explicando devagar e com calma:
  • Um sistema é inversível se, para todo sinal de entrada x(t), existe um sistema inverso S^{-1} tal que aplicando S e depois S^{-1} volta-se ao mesmo x(t). Ou seja, a transformação x\mapsto y deve ser injetora (um‑a‑um).
  • Em termos práticos: se x_1(t)\neq x_2(t) para algum t, então os respectivos y_1(t) e y_2(t) devem ser diferentes em pelo menos um instante. Se existirem dois sinais distintos que produzam o mesmo y(t), o sistema não é inversível.

Passo 3

Tentar achar uma fórmula inversa formal:
  • Se y(t)=t\,x(t), para t\neq 0 podemos isolar x(t) e obter
x(t)=\frac{y(t)}{t},\qquad (t\neq 0).
  • Isso sugere que, fora de t=0, a recuperação de x(t) a partir de y(t) é direta: divide‑se por t.
  • No entanto, em t=0 temos sempre
y(0)=0\cdot x(0)=0,
independente do valor de x(0). Ou seja, a saída em t=0 é sempre 0 e não contém informação sobre x(0).

Passo 4

Construir um contraexemplo explícito (método clássico para mostrar não-injetividade):
  • Tome dois sinais distintos x_1\) e \(x_2\) definidos ponto a ponto por exemplo \[x_1(t)=0\\ \text{para todo }t,
x_2(t)=\begin{cases}1,& t=0,\\[4pt]0,& t\neq 0.\end{cases}
  • Esses sinais são claramente diferentes porque x_1(0)=0\] e \[x_2(0)=1.
  • Calcule as saídas:
y_1(t)=t\,x_1(t)=t\cdot 0=0\\ \text{para todo }t,
y_2(t)=t\,x_2(t)=\begin{cases}t\cdot 1=0,& t=0,\\[4pt]t\cdot 0=0,& t\neq 0,\end{cases}
logo y_2(t)=0\] para todo \(t.
  • Portanto y_1(t)=y_2(t) embora x_1\neq x_2. Isso mostra que a transformação não é injetora.]

Passo 5

Interpretação final e observações práticas (para a prova):
  • Como existe perda de informação em t=0 (toda informação sobre x(0) é apagada porque y(0)=0 sempre), não existe um inverso que recupere x(0) a partir de y. Logo o sistema não é inversível no conjunto usual de sinais.
  • Observação útil: se for imposta a restrição adicional de só considerar sinais que satisfaçam uma condição fixa em t=0 (por exemplo, todos com x(0)=0), então a transformação passa a ser invertível nesse subconjunto, com inverso x(t)=y(t)/t para t\neq 0 e x(0)=0 definido por hipótese. Mas sem essa restrição, não há inverso único.

Resposta

O sistema não é inversível.

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