Determine se o sistema é inversível ou não-inversível:
Passo 1
O enunciado dá a relação entre entrada e saída do sistema:
A pergunta é: determinar se esse sistema é inversível ou não-inversível.
Informações relevantes fornecidas:
- A lei do sistema é exatamente
para todo . - Não há outras restrições explicitadas sobre o conjunto de sinais considerados (assume‑se o conjunto usual de sinais definidos ponto a ponto).
Passo 2
O que significa “inversível” aqui — explicando devagar e com calma:
- Um sistema é inversível se, para todo sinal de entrada
, existe um sistema inverso tal que aplicando e depois volta-se ao mesmo . Ou seja, a transformação deve ser injetora (um‑a‑um). - Em termos práticos: se
para algum , então os respectivos e devem ser diferentes em pelo menos um instante. Se existirem dois sinais distintos que produzam o mesmo , o sistema não é inversível.
Passo 3
Tentar achar uma fórmula inversa formal:
- Se
, para podemos isolar e obter
- Isso sugere que, fora de
, a recuperação de a partir de é direta: divide‑se por . - No entanto, em
temos sempre
independente do valor de
. Ou seja, a saída em
é sempre
e não contém informação sobre
.
Passo 4
Construir um contraexemplo explícito (método clássico para mostrar não-injetividade):
- Tome dois sinais distintos
- Esses sinais são claramente diferentes porque .
- Calcule as saídas:
logo
.
- Portanto
embora . Isso mostra que a transformação não é injetora.]
Passo 5
Interpretação final e observações práticas (para a prova):
- Como existe perda de informação em
(toda informação sobre é apagada porque sempre), não existe um inverso que recupere a partir de . Logo o sistema não é inversível no conjunto usual de sinais. - Observação útil: se for imposta a restrição adicional de só considerar sinais que satisfaçam uma condição fixa em
(por exemplo, todos com ), então a transformação passa a ser invertível nesse subconjunto, com inverso para e definido por hipótese. Mas sem essa restrição, não há inverso único.
Resposta
O sistema não é inversível.