Determine um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do
:
а)
;
b)
e
;
c)
;
d)
;
e)
.
а)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede sistemas de geradores (ou bases) para os subespaços de
dados por condições lineares. Vamos usar o método de parametrização: cada equação linear impõe uma restrição às coordenadas e liberamos as variáveis restantes como parâmetros para escrever um vetor genérico do subespaço como combinação linear de vetores “básicos”. Para interseção e soma, usamos as definições
Passo 2
Para
temos
. Seja
e
. Então
Logo um sistema de geradores é
Passo 3
Para
resolvemos
e
. Seja
. Então
Um gerador (base) é
Passo 4
Para
temos
. Seja
e
. Então
Um sistema de geradores é
Passo 5
O subespaço
satisfaz simultaneamente as duas equações de
. Logo
é exatamente
. Portanto um gerador é
Passo 6
Para
basta tomar a união dos geradores de
e de
:
Como
,
e
, temos
, ou seja,
.
Resposta
a) Geradores de
:
b) Gerador de :
c) Geradores de :
d) : gerador
e) , geradores
b) Gerador de
c) Geradores de
d)
e)