Determine um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do \mathbb{R}^{3} :
а) U=\{(x, y, z) \mid x-2 y=0\};
b) V=\{(x, y, z) \mid x+z=0 e x-2 y=0\};
c) W=\{(x, y, z) \mid x+2 y-3 z=0\};
d) U \cap V;
e) V+W.

Passo 1

O enunciado pede sistemas de geradores (ou bases) para os subespaços de \mathbb{R}^3 dados por condições lineares. Vamos usar o método de parametrização: cada equação linear impõe uma restrição às coordenadas e liberamos as variáveis restantes como parâmetros para escrever um vetor genérico do subespaço como combinação linear de vetores “básicos”. Para interseção e soma, usamos as definições
U\cap V = \{\,v:\;v\in U\text{ e }v\in V\},\quad V+W = \{\,v+w:\;v\in V,\;w\in W\}.

Passo 2

Para
U=\{(x,y,z)\mid x-2y=0\}
temos x=2y. Seja y=s e z=t. Então
(x,y,z) = (2s,s,t) = s\,(2,1,0) + t\,(0,0,1).
Logo um sistema de geradores é
\{(2,1,0),\,(0,0,1)\}.

Passo 3

Para
V=\{(x,y,z)\mid x+z=0,\;x-2y=0\}
resolvemos x-2y=0\implies x=2y e x+z=0\implies z=-x=-2y. Seja y=t. Então
(x,y,z)=(2t,t,-2t)=t\,(2,1,-2).
Um gerador (base) é
\{(2,1,-2)\}.

Passo 4

Para
W=\{(x,y,z)\mid x+2y-3z=0\}
temos x=-2y+3z. Seja y=u e z=v. Então
(x,y,z)=(-2u+3v,\,u,\,v)=u\,(-2,1,0)+v\,(3,0,1).
Um sistema de geradores é
\{(-2,1,0),\,(3,0,1)\}.

Passo 5

O subespaço U\cap V satisfaz simultaneamente as duas equações de V. Logo
U\cap V =\{(x,y,z)\mid x-2y=0,\;x+z=0\}
é exatamente V. Portanto um gerador é
\{(2,1,-2)\}.

Passo 6

Para V+W basta tomar a união dos geradores de V e de W:
\{(2,1,-2),\;(-2,1,0),\;(3,0,1)\}.
Como \dim V=1, \dim W=2 e V\cap W=\{0\}, temos \dim(V+W)=3, ou seja, V+W=\mathbb{R}^3.

Resposta

a) Geradores de U: \{(2,1,0),\,(0,0,1)\}
b) Gerador de V: \{(2,1,-2)\}
c) Geradores de W: \{(-2,1,0),\,(3,0,1)\}
d) U\cap V: gerador \{(2,1,-2)\}
e) V+W=\mathbb{R}^3, geradores \{(2,1,-2),\,(-2,1,0),\,(3,0,1)\}

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